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El misterio de las matemáticas

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El misterio de las matemáticas
29 septiembre
10:52 2020

Maimónides, el gran filósofo cordobés del siglo XII, consideraba que ninguna filosofía puede resultar completa sin un examen cuidadoso de las mejores teorías físicas. El paso del tiempo no hace sino confirmar su aserto. La relación del conocimiento científico con la filosofía y la metafísica es cada día mayor y no solamente en el campo de la cosmología, donde los avances relativos al conocimiento del origen del Universo han abierto nuevos interrogantes. La cada vez mayor intervención de las matemáticas en la explicación de la Naturaleza abre nuevas cuestiones metafísicas y descubre una compleja relación entre matemáticas y filosofía.

Las leyes que rigen el comportamiento de la Naturaleza se han ido desvelando poco a poco a lo largo de la historia, verificándose lo que ya anticipó Pitágoras (570-495 AC), que las matemáticas son el modo de entender el Universo. Pero lo que en su momento fue una vaga visión se ha ido concretando a medida que avanza nuestro conocimiento: todas las teorías que explican aspectos de la Naturaleza tienen un sustento matemático.

Eugene Wigner fue un físico nuclear que contribuyó con su trabajo en muchos aspectos de la ciencia; su biógrafo decía que describir su trayectoria era como si estuviera hablando de cuatro o cinco científicos. En 1963 recibió el Premio Nobel de Física “por su contribución a la teoría del núcleo atómico y de las partículas elementales, en especial por el descubrimiento y aplicación de los importantes principios de simetría”1. En su trabajo diario de muchos años tuvo tiempo de meditar por qué una teoría matemática, la teoría de grupos, que había tenido su origen en el siglo XIX en el intento por resolver ecuaciones algebraicas, se adaptaba tan bien para modelizar el comportamiento del interior del átomo.

En 1959 pronunció una conferencia con el título La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales2, que abrió inesperadamente un debate que aún hoy no se ha cerrado. Su tesis central era que muchas veces se han desarrollado conceptos matemáticos en un contexto y que después se ha verificado su absoluta adaptación a explicar otros fenómenos. En su charla que poco después plasmó por escrito cita los espacios complejos de Hilbert (que éste desarrolló en el estudio de las ecuaciones integrales) y que serían imprescindibles para la formulación décadas más tarde de la mecánica cuántica.

Wigner lo calificó como un misterio. ¿Cómo puede ser que las matemáticas inventadas, influenciadas, por ejemplo, por la conveniencia del físico o el sentido de la belleza del matemático, se correspondan tan bien con la descripción de los fenómenos naturales? La pregunta no era nueva, anteriormente ya la habían planteado Kant o Einstein, entre otros, pero lo cierto es que su artículo viene estimulando desde entonces comentarios sostenidos de científicos, filósofos e historiadores.

Abundantes ejemplos justifican la pregunta que numerosos autores se han encargado de acuñar como el puzzle de Wigner. En general se pueden plantear dos diferentes patrones sobre cómo se descubren nuevas leyes físicas. A veces las matemáticas juegan un papel activo en el descubrimiento de la teoría correcta. Un ejemplo de este patrón es el descubrimiento del positrón, o más genéricamente la antimateria, por Dirac. Otro ejemplo clásico es el descubrimiento de las ondas electromagnéticas por Maxwell.

Según el segundo patrón, que denominamos pasivo, los matemáticos en otras ocasiones desarrollan campos completos de estudio sin ninguna aplicación en mente, y décadas, incluso siglos, después, físicos posteriores descubren que estos marcos matemáticos dan sentido a sus observaciones. Un ejemplo frecuente es cómo una de las curvas estudiadas por Apolonio, en Alejandría en el siglo III antes de nuestra Era resultó ser la que mejor describiría el movimiento de los cuerpos celestes, enunciado por Kepler muchos siglos más tarde en su segunda ley. Aún más sorprendente es el caso de las geometrías no euclidianas, aplicadas por Einstein para describir cómo la materia curva la estructura del espacio-tiempo en su teoría general de la relatividad: la teoría de los espacios curvos no euclidianos ya había sido construida cincuenta años antes por Gauss Lobachevski y Riemann.

Existe otro tipo de casos en los que se manifiesta esta irrazonabilidad debido a la adaptabilidad cruzada de un determinado concepto. El ejemplo favorito de Wigner es la presencia de π en una aplicación dedicada al estudio de estadísticas de población mediante distribución normal. El “misterio” proviene de la creencia de sentido común de que la población no tiene nada que ver con la circunferencia del círculo. En la comprensión matemática de la distribución normal, es fácil ver cómo los conceptos se conectan entre sí y transportan π y la ecuación de un círculo a la expresión de la función de densidad de probabilidad. Pero esto es una explicación dentro de las matemáticas y la preocupación de Wigner deriva del aspecto filosófico, no por tal explicación, sino por la falta de una que explique por qué π, que caracteriza al círculo como un concepto matemático creado con un claro corresponsal empírico (los objetos o formas redondas), demostró ser efectivo en un contexto empírico aparentemente no relacionado con el círculo para el que fue creado3.

La complejidad filosófica del puzzle de Wigner se ha ido manifestando mayor a medida que se analiza y se conocen nuevos ejemplos. En los años 90, Mark Steiner sugirió que el puzzle es en realidad una familia de puzzles distintos, ya que hay más de un tipo de aplicabilidad.

La “efectividad irracional de las matemáticas” es una forma abreviada de referirse al poder descriptivo, predictivo y explicativo de las matemáticas al tratar con el mundo natural (y social). Y aquí no encontramos razonable que nuestras suposiciones, basadas en las matemáticas que inventamos y las capacidades conceptuales de nuestros cerebros, parecen ser exactamente las correctas. Ante ello la pregunta metafísica más importante que debe responderse es la siguiente: ¿cuál es la relación entre las matemáticas, la mente humana y el mundo natural? Pregunta que ha sido tratada con profusión desde muy diferentes perspectivas sin que ninguna de las explicaciones aportadas esté libre de dificultades. No es posible en la extensión de este artículo esquematizar las respuestas que dan diferentes corrientes de pensamiento, pero sí entraremos en la consideración de que en el centro de este misterio se encuentra un argumento que los matemáticos, físicos y filósofos han tenido durante siglos: ¿es la matemática un conjunto inventado de herramientas? ¿o existe realmente en algún reino abstracto, con humanos simplemente descubriendo sus verdades? Inventar o descubrir. Inventar es crear algo por primera vez mientras que descubrir es tomar conciencia de algo por primera vez.

El realismo matemático sostiene que el Universo opera en base a un estricto conjunto de ecuaciones que gobiernan todos sus comportamientos y que los humanos simplemente los revelan. Según el realismo, las matemáticas existen de forma objetiva e independiente del pensamiento humano. Los conceptos matemáticos están entretejidos en el tejido mismo del Universo y están disponibles para que los descubramos y los llevemos a un uso práctico.

El antirrealismo matemático sostiene que las matemáticas son un producto de la imaginación humana para ayudarnos a comprender el comportamiento del Universo. Es un conjunto de axiomas, verdades y sus consecuencias lógicas que permite crear modelos de lo que observamos en la realidad, hacer predicciones y discernir la verdad.

Los argumentos a favor y en contra de ambas posturas son numerosos. No inventamos la aritmética; agregar dos y dos siempre te dará cuatro, dicen los realistas, solamente inventamos el lenguaje para describir ese resultado. Por contra, los antirrealistas argumentan que si los humanos no fueran sólidos sino gaseosos y vivieran en las nubes, contar objetos discretos no sería tan obvio. ¿Si no hubiera nada que contar existirían los números? Así, los axiomas basados en la noción de conteo simple no son innatos a nuestro Universo, sino que son una construcción humana. La opinión de los grandes matemáticos está dividida, Hilbert o Cantor apoyan la visión de Wigner y Einstein, el antirrealismo, mientras que Hardy, Penrose o Gödel sostienen el punto de vista opuesto.

La “efectividad de las matemáticas” nos deja muchas preguntas sin contestación, pero sí podemos afirmar que el Universo contiene la capacidad de ser comprendido y son las matemáticas lo que va permitiendo esa progresiva comprensión.

Wigner se refirió al problema que él mismo planteó en términos casi religiosos, acuñando la palabra “milagro” para referirse al mismo y con frases tales como “El milagro de la idoneidad del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un regalo maravilloso que no entendemos ni merecemos” con la que concluye su escrito de 19592. Y si contemplamos el aspecto metafísico de este dilema está claro que el realismo requiere un agente activo. En la cosmovisión teísta esto no plantea ningún problema, ya que los objetos matemáticos pueden ser causalmente efectivos en el mundo y en nuestras mentes, en virtud de estar en la mente de Dios. Aquellos que rechazan el teísmo, sin embargo, se enfrentan a un problema abrumador. Mark Balaguer lo reflexiona así: “para creer que el mundo físico tiene la naturaleza que la ciencia empírica le asigna, tengo que creer que hay objetos matemáticos causalmente inertes, que existen fuera del espacio-tiempo”, una idea que es inherentemente inverosímil. Y por otra parte el antirrealismo necesita responder por qué un objeto matemático dado debería ser una herramienta eficaz para representar la estructura física, a lo que el filósofo Tim Maudlin responde: porque el mundo físico tiene literalmente la estructura matemática. Y lo que no se explica desde una posición no deísta es por qué el mundo físico exhibe una estructura matemática tan compleja y sorprendente. En ambos casos la postura no deísta parece alejarse de la solución del problema y esto precisamente es lo que viene a expresar Wigner con su lenguaje, sólo la existencia de Dios permitiría interpretar el puzzle4.

Con palabras de Mauro Dorato “el problema de Wigner presenta todas las características de un profundo problema filosófico que favorece no sólo el diálogo entre ciencia y humanidades sino que nos ayuda a comprender el lugar de la humanidad en el Universo”5. El pensamiento de Maimónides es cada día más actual.

 

1 The Nobel Prize in Physics 1963

https://www.nobelprize.org/prizes/physics/1963/summary/

2 Eugene P. Wigner, “The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences” 1959

https://pdfs.semanticscholar.org/d24b/a297fb1a5911fac90a39d35f01a835cc0fa7.pdf

3 Cătălin Bărboianu, Wigner’s Puzzle on Applicability of Mathematics: On What Table to Assemble It? 2019 https://www.researchgate.net/publication/337257178_Wigner’s_Puzzle_on_Applicability_of_Mathematics_On_What_Table_to_Assemble_It

4 William Lane Craig, God and the ‘Unreasonable Effectiveness of Mathematics’

https://www.reasonablefaith.org/writings/popular-writings/existence-nature-of-god/god-and-the-unreasonable-effectiveness-of-mathematics/

5 Mauro Dorato, THE LAWS OF NATURE AND THE EFFECTIVENESS OF MATHEMATICS 2014

https://www.researchgate.net/publication/226596946_The_Laws_of_Nature_and_the_Effectiveness_of_Mathematics/link/53d6568c0cf228d363ea4f04/download

 

Manuel Ribes

Observatorio de Bioética

Instituto Ciencias de la Vida

Universidad Católica de Valencia

 

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